吉林省政府召开常务会议研究打好精准脱贫攻坚战等工作

3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

百度 在这样的网络化世界，强起来的一个基本含义就是拥有强大的网络影响力、引导力、塑造力，在很大程度上表现为强大的网络能力——既包括入网能力，更包括组网能力。

Множе?е ?е бинарна операци?а у математици. Запису?е се као a · b или a × b. Операнди a и b се назива?у чиниоци (фактори), а резултат множе?а производ.

Ако ?е ?едан операнд природан бро?, онда множе?е представ?а скра?ени запис сабира?а. Нпр, ако ?е n ∈ ?, онда ?е

$a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

У алгебри се ознака за множе?е подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b

На пример, 4 помножено са 3, често написано као $3\times 4$ и изговорено као ?3 пута 4”, може се израчунати додава?ем 3 копи?е од 4 за?едно:

$3\times 4=4+4+4=12$

Овде су 3 (множилац) и 4 (множеник) чиниоци, а 12 ?е производ.

?едно од главних сво?става множе?а ?е комутативно сво?ство, ко?е у овом случа?у наводи да сабира?е 3 копи?е од 4 да?е исти резултат као додава?е 4 копи?е од 3:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

Систематске генерализаци?е ове основне дефиници?е дефинишу множе?е целих бро?ева (ук?учу?у?и негативне бро?еве), рационалних (разломака) и реалних бро?ева.

Множе?е се тако?е може визуализовати као бро?а?е об?еката распоре?ених у правоугаоник (за целе бро?еве) или као проналаже?е површине правоугаоника чи?е странице има?у неке дате дужине. Површина правоугаоника не зависи од тога ко?а се страница прва мери — последица комутативног сво?ства.

Производ два мере?а ?е нова врста мере?а. На пример, множе?ем дужина две стране правоугаоника доби?а се ?егова површина. Такав производ ?е предмет димензионалне анализе.

Инверзна операци?а множе?у ?е де?е?е. На пример, пошто ?е 4 помножено са 3 ?еднако 12, 12 поде?ено са 3 ?е ?еднако 4.

Множе?е бро?ева

Особине

Множе?е има приоритет над сабира?ем. Множе?е бро?ева има следе?е особине (за множе?е других об?еката погледати ниже у тексту):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$	(неутрал)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$	(сваки бро? помножен нулом ?еднак ?е нули)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(асоци?ативност)
4. $a\cdot b=b\cdot a$	комутативност
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	дистрибутивност множе?а према сабира?у

1. На скупу рационалних, реалних и комплексних бро?ева, сваки бро? осим нуле има тачно ?едан инверзан бро?, такав да ?е ?ихов производ ?единица:

$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$

Инверзан бро? бро?а $a$ се запису?е као ${\tfrac {1}{a}}$. Инверзан бро? инверзног бро?а ?е полазни бро?:

${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

Множе?е целих бро?ева

Приликом множе?а целих бро?ева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат ?е позитиван. Производ позитивног и негативног бро?а ?е негативан.

Рационални чиниоци

Главни чланак: Рационалан бро?

Производ рационалних бро?ева ?е рационалан бро? коме ?е бро?илац производ бро?илаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

Ирационални чиниоци

Главни чланак: Реални бро?еви

Нека ?е b ∈ ? \ ? ирационалан бро?, тада ?е производ a · b гранична вредност

$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$

где ?е ${\tfrac {p}{q}}$ рационалан бро? и представ?а приближну вредност бро?а b.

Множе?е комплексних бро?ева

Главни чланак: Комплексни бро?еви

Сваки комплексан бро? z можемо записати као уре?ени пар или у тригонометри?ском (поларном) запису:

$z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$.

Како ?е $i^{2}=-1$, формула за множе?е у алгебарском запису гласи

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$.

Из тригонометри?ских ?едначина следи формула за множе?е комплексних бро?ева у тригонометри?ском облику:

$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$

Множе?е вектора

Главни чланак: Вектор

Посто?и неколико врста множе?а вектора: множе?е вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са ?·“, а векторски са ?ד.

Посматра?мо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Множе?е вектора скаларом

Вектор се множи скаларом тако што се свака ?егова координата помножи скаларом. Ова операци?а ?е комутативна.

$k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$

Скаларни производ

Скаларни производ вектора ?е скалар ?еднак суми производа одговара?у?их координата:

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Скаларни производ ?е комутативан.

Векторски производ

Векторски производ.

Векторски производ вектора ?е нови вектор, чи?и ?е интензитет ?еднак површини паралелограма ко?и вектори-чиниоци заклапа?у, правац му ?е нормалан на раван ко?у вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенци?е. Ова? производ ?е специфичан за $\mathbb {R} ^{3}$, и антикомутативан ?е. Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:

$\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

где су $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$ ортови дуж x, y и z осе.

Мешовити производ

Запремина паралелепипеда ко?и дефинишу 3 вектора ?еднака ?е ?иховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора ?е скалар ко?и ?е ?еднак запремини паралелопипеда ко?и ти вектори заклапа?у. Запису?е се као [a, b, c] и по дефиници?и ?е:

$[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$

$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$

Множе?е матрица

Главни чланак: Матрица (математика)

Нека су дате матрице А и B величине m_А×n_А и m_B×n_B. Производ AB ?е дефинисан ако ?е n_А = m_B, а доби?ена матрица има димензи?е m_А×n_B. Елементи матрице-производа су

$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$

Множе?е матрица ни?е комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на ?едан начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи не?е имати исту величину (5×5 на ?едан и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су тако?е исте величине, и може се дефинисати комутатор:

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Види ?ош

• Де?е?е
• Степенова?е
• Таблица множе?а
• Линеарна функци?а
• Египатско множе?е

Литература

• Boyer, Carl B. (1991). History of Mathematics. Merzbach, Uta C. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Gandz, S. (?ануар 1936). ?The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426. CS1 одржава?е: Формат датума (веза)
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X. 
• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6. 
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 
• Euler, Leonhard (2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Архивирано из оригинала 2025-08-14. г. 
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X. 
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press. 
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0140277784. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). ?History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Архивирано из оригинала 2025-08-14. г. Приступ?ено 2025-08-14. 
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books. 
• Bareiss, Erwin (1968). ?Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF). Mathematics of Computation. 22 (102): 565—578. JSTOR 2004533. doi:10.2307/2004533. Архивирано (PDF) из оригинала 2025-08-14. г. 
• de Boor, Carl (1990), ?An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3—7, S2CID 62780452, doi:10.1145/122272.122273, Архивирано (PDF) из оригинала 2025-08-14. г. 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). ?Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231—236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 . 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd изд.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
• Fisikopoulos, Vissarion; Pe?aranda, Luis (2016), ?Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation”, Computational Geometry, 54: 1—16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001  
• Garibaldi, Skip (2004), ?The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761—778, JSTOR 4145188, MR 2104048, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). ?A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98—109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Архивирано (PDF) из оригинала 2025-08-14. г. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ур., A history of abstract algebra, Birkh?user, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 

Спо?аш?е везе

• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus